1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны: 1) 3 см, 2) 2 см, 3) 6 см. Найдите: а) длину диагонали параллелепипеда; б) длину диагонали наименьшей грани; в) площадь наибольшей грани; г) площадь наименьшей грани; д) площадь поверхности параллелепипеда.

2. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и образует угол α с основанием призмы. Найдите: 1) высоту призмы; 2) большую диагональ основания; 3) сторону основания призмы; 4) площадь основания; 5) площадь наибольшего диагонального сечения; 6) площадь боковой поверхности призмы.

3. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб. Высота параллелепипеда равна 8 см, диагонали параллелепипеда равны 17 см и 10 см. Найдите: 1) длину большей диагонали основания; 2) меньшую диагональ основания; 3) сторону основания параллелепипеда; 4) площадь основания параллелепипеда; 5) площадь боковой поверхности параллелепипеда; 6) угол наклона большей диагонали параллелепипеда к плоскости основания.

4. Боковое ребро призмы равно 10 см, а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 5 см. Найдите: 1) длину третьего ребра основания; 2) площадь основания; 3) площадь боковой поверхности призмы; 4) площадь полной поверхности призмы; 5) площадь сечения, проведённого через боковое ребро и середину гипотенузы; 6) диагональ наибольшей боковой грани.

1. Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: \(3\) см, \(2\) см, \(6\) см.

• а) диагональ параллелепипеда: \(\sqrt{3^2+2^2+6^2}=\sqrt{49}=7\) см;
• б) наименьшая грань имеет стороны \(2\) см и \(3\) см, её диагональ: \(\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\) см;
• в) площадь наибольшей грани: \(3\cdot 6=18\) \(\text{см}^2\);
• г) площадь наименьшей грани: \(2\cdot 3=6\) \(\text{см}^2\);
• д) площадь поверхности: \(2(3\cdot2+3\cdot6+2\cdot6)=72\) \(\text{см}^2\).

2. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна \(d\) и образует угол \(\alpha\) с основанием.

• 1) высота призмы: \(h=d\sin\alpha\);
• 2) большая диагональ основания: \(D=d\cos\alpha\);
• 3) сторона основания: \(a=\frac{d\cos\alpha}{2}\);
• 4) площадь основания: \(S_{осн}=\frac{3\sqrt3}{8}d^2\cos^2\alpha\);
• 5) площадь наибольшего диагонального сечения: \(S=d^2\sin\alpha\cos\alpha\);
• 6) площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=3d^2\sin\alpha\cos\alpha\).

3. Высота прямого параллелепипеда \(8\) см, диагонали параллелепипеда \(17\) см и \(10\) см.

• 1) большая диагональ основания: \(\sqrt{17^2-8^2}=15\) см;
• 2) меньшая диагональ основания: \(\sqrt{10^2-8^2}=6\) см;
• 3) сторона ромба: \(a=\frac{\sqrt{15^2+6^2}}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2}\) см;
• 4) площадь основания: \(S_{осн}=\frac{15\cdot6}{2}=45\) \(\text{см}^2\);
• 5) площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=4a\cdot8=48\sqrt{29}\) \(\text{см}^2\);
• 6) угол наклона большей диагонали к основанию: \(\sin\varphi=\frac{8}{17}\), значит \(\varphi=\arcsin\frac{8}{17}\).

4. Считаем, что призма прямая. В основании прямоугольный треугольник с катетами \(12\) см и \(5\) см, боковое ребро \(10\) см.

• 1) третье ребро основания: \(\sqrt{12^2+5^2}=13\) см;
• 2) площадь основания: \(S_{осн}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5=30\) \(\text{см}^2\);
• 3) площадь боковой поверхности: \(S_{бок}=(12+5+13)\cdot10=300\) \(\text{см}^2\);
• 4) площадь полной поверхности: \(S_{полн}=300+2\cdot30=360\) \(\text{см}^2\);
• 5) расстояние от вершины треугольника до середины гипотенузы равно \(\frac{13}{2}\), поэтому площадь сечения: \(\frac{13}{2}\cdot10=65\) \(\text{см}^2\);
• 6) диагональ наибольшей боковой грани: \(\sqrt{13^2+10^2}=\sqrt{269}\) см.

0 0 Пожаловаться