Решите неравенство (2x + 4)/(x - 7) > 0

Чтобы решить неравенство $\frac{2x + 4}{x - 7} > 0$, необходимо найти промежутки, на которых дробь положительна.

Шаг 1: Преобразуем числитель и знаменатель

Для начала упростим числитель:

Таким образом, неравенство можно переписать как:

Шаг 2: Найдем точки, при которых дробь изменяет знак

Дробь может изменять знак в точках, где числитель или знаменатель равны нулю, то есть в точках $x = -2$ (где числитель равен 0) и $x = 7$ (где знаменатель равен 0, и дробь не определена).

Теперь выделим эти ключевые точки:

• $x = -2$: при $x = -2$ числитель равен нулю, дробь становится равной нулю.

• $x = 7$: при $x = 7$ знаменатель равен нулю, дробь не определена.

Шаг 3: Разделим числовую ось на интервалы

Теперь мы делим числовую ось на четыре интервала, разделенные точками $x = -2$ и $x = 7$:

1. $(-\infty, -2)$

2. $(-2, 7)$

3. $(7, +\infty)$

Шаг 4: Проверим знак дроби на каждом интервале

1. На интервале $(- \infty, -2)$, например, при $x = -3$:

   $$\frac{2(-3 + 2)}{-3 - 7} = \frac{2(-1)}{-10} = \frac{-2}{-10} = 0.2 > 0$$

   Знак дроби положительный.

2. На интервале $(-2, 7)$, например, при $x = 0$:

   $$\frac{2(0 + 2)}{0 - 7} = \frac{2(2)}{-7} = \frac{4}{-7} \approx -0.571 < 0$$

   Знак дроби отрицательный.

3. На интервале $(7, +\infty)$, например, при $x = 8$:

   $$\frac{2(8 + 2)}{8 - 7} = \frac{2(10)}{1} = 20 > 0$$

   Знак дроби положительный.

Шаг 5: Определим решение неравенства

Неравенство требует, чтобы дробь была больше нуля. Положительные значения дробь принимает на интервалах:

• $(-\infty, -2)$

• $(7, +\infty)$

Таким образом, решение неравенства:

Точки $x = -2$ и $x = 7$ не включаются в решение, так как при $x = -2$ дробь равна нулю, а при $x = 7$ дробь не определена.