Известно, что sin³x + cos³x = 1. Найти sinx + cosx.

Ответы на вопрос

Отвечает Орлова Ульяна.

Рассмотрим выражение $\sin^3 x + \cos^3 x = 1$ . Это выражение можно разложить по формуле для суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = \sin x$ и $b = \cos x$ :

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)

Теперь используем тот факт, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (это основное тригонометрическое тождество). Подставим это в выражение:

\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

Из условия задачи известно, что $\sin^3 x + \cos^3 x = 1$ . Подставим это в уравнение:

1 = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)

Обозначим $t = \sin x + \cos x$ . Тогда у нас получается:

1 = t(1 - \sin x \cos x)

Теперь попробуем выразить $\sin x \cos x$ через $t$ . Из квадрата суммы $\sin x + \cos x$ :

(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x

Таким образом, $t^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$ , и отсюда:

\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}

Подставим это выражение в наше уравнение:

1 = t\left( 1 - \frac{t^2 - 1}{2} \right)

Преобразуем скобки:

1 = t\left( \frac{2}{2} - \frac{t^2 - 1}{2} \right) = t\left( \frac{2 - t^2 + 1}{2} \right) = t \cdot \frac{3 - t^2}{2}

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2 = t(3 - t^2)

Раскроем скобки:

2 = 3t - t^3

Переносим все в одну сторону:

t^3 - 3t + 2 = 0

Теперь решим это кубическое уравнение. Попробуем найти корни методом подбора. Подставим $t = 1$ :

1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Таким образом, $t = 1$ — корень уравнения. Теперь разложим кубическое выражение на множители:

t^3 - 3t + 2 = (t - 1)(t^2 + t - 2)

Дальше разложим квадратный трёхчлен:

t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2)

Таким образом, полное разложение будет следующим:

t^3 - 3t + 2 = (t - 1)^2 (t + 2)

Похожие вопросы

Ответы на вопрос