√3-4x=2x (3-4x Находятся под корнем)

Чтобы решить уравнение √(3 - 4x) = 2x, давайте пошагово разберем, как это сделать.

1. Изолируем квадратный корень.
   У нас уже есть корень на одной стороне уравнения:

   $$\sqrt{3 - 4x} = 2x$$

2. Возводим обе стороны уравнения в квадрат.
   Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе стороны уравнения в квадрат:

   $$(\sqrt{3 - 4x})^2 = (2x)^2$$

   Получаем:

   $$3 - 4x = 4x^2$$

3. Переносим все члены на одну сторону уравнения.
   Приводим уравнение к стандартному виду:

   $$4x^2 + 4x - 3 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение.
   Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 4$, $b = 4$, $c = -3$. Подставляем:

   $$D = 4^2 - 4 \times 4 \times (-3) = 16 + 48 = 64$$

5. Находим корни уравнения.
   Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения $b$, $D$, и $a$:

   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \times 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$$

   Таким образом, два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$$

6. Проверяем найденные значения.
   Так как мы возводили обе стороны уравнения в квадрат, важно проверить, не появились ли лишние корни. Подставим найденные значения в исходное уравнение:

   • Для $x = \frac{1}{2}$:

     $$\sqrt{3 - 4 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$$

     Правая часть:

     $$2 \times \frac{1}{2} = 1$$

     Уравнение выполняется.

   • Для $x = -\frac{3}{2}$:

     $$\sqrt{3 - 4 \times \left(-\frac{3}{2}\right)} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$$

     Правая часть:

     $$2 \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -3$$

     Уравнение не выполняется.

7. Ответ.
   Единственный подходящий корень — $x = \frac{1}{2}$.