(x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40. Найти целые решения.

Для того чтобы решить уравнение $(x-1)(x-7)(x-4)(x+2) = 40$, начнем с того, что раскроем скобки и упростим выражение.

1. Раскроем два произведения:

Теперь у нас есть выражение:

2. Раскроем скобки в произведении:

Соберем подобные члены:

3. Теперь у нас уравнение:

Переносим 40 на левую сторону:

Это уже полином четвертой степени. Решить его аналитически может быть сложно, поэтому рассмотрим целые значения $x$, которые могут дать результат, равный 40.

4. Проверим целые значения $x$.

Подставим различные значения $x$ в исходное уравнение:

• При $x = 1$:

  $$(1-1)(1-7)(1-4)(1+2) = 0 \times (-6) \times (-3) \times 3 = 0$$

  Это не решение.

• При $x = 2$:

  $$(2-1)(2-7)(2-4)(2+2) = 1 \times (-5) \times (-2) \times 4 = 40$$

  Это решение.

• При $x = 3$:

  $$(3-1)(3-7)(3-4)(3+2) = 2 \times (-4) \times (-1) \times 5 = 40$$

  Это решение.

• При $x = 4$:

  $$(4-1)(4-7)(4-4)(4+2) = 3 \times (-3) \times 0 \times 6 = 0$$

  Это не решение.

• При $x = 5$:

  $$(5-1)(5-7)(5-4)(5+2) = 4 \times (-2) \times 1 \times 7 = -56$$

  Это не решение.

• При $x = 6$:

  $$(6-1)(6-7)(6-4)(6+2) = 5 \times (-1) \times 2 \times 8 = -80$$

  Это не решение.

• При $x = 7$:

  $$(7-1)(7-7)(7-4)(7+2) = 6 \times 0 \times 3 \times 9 = 0$$

  Это не решение.

5. Таким образом, целые решения уравнения: $x=2$