12/x-1-8/x+1=1 решите уравнение

Ответы на вопрос

Отвечает Вечеркова Полина.

Рассмотрим уравнение:

\frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1

Шаг 1: Найдём общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей — это произведение $(x - 1)(x + 1)$ . Домножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

\left( \frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} \right) \cdot (x - 1)(x + 1) = 1 \cdot (x - 1)(x + 1)

Выполним умножение:

12(x + 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x + 1)

Шаг 2: Раскроем скобки

Сначала левая часть:

12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1

Теперь упростим левую часть:

(12x - 8x) + (12 + 8) = 4x + 20

Получаем:

4x + 20 = x^2 - 1

Шаг 3: Перенесём всё в одну сторону

4x + 20 - x^2 + 1 = 0

-x^2 + 4x + 21 = 0

Домножим всё на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$ :

x^2 - 4x - 21 = 0

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

x^2 - 4x - 21 = 0

Найдём дискриминант:

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100

Теперь найдём корни:

x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}

x_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7,\quad x_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3

Шаг 5: Проверим допустимость корней

Подставим значения в исходное уравнение и проверим, не обращают ли они знаменатель в ноль:

$x = 7$ : знаменатели $x - 1 = 6$ , $x + 1 = 8$ — всё хорошо.
$x = -3$ : знаменатели $x - 1 = -4$ , $x + 1 = -2$ — всё хорошо.

Оба корня допустимы.

Ответ:

\boxed{x = 7 \quad \text{или} \quad x = -3}