Решите неравенство (3/(2²⁻ˣ²-1)²)-(4/2²⁻ˣ²-1)+1≥0

Рассмотрим неравенство:

Обозначим:

Так как $2^{2 - x^2} > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, переменная $t > 0$. Теперь перепишем выражение через $t$:

Обозначим $u = t - 1$, тогда $u > -1$, поскольку $t > 0 \Rightarrow t - 1 > -1$

Теперь выразим неравенство через $u$:

Приведём к общему знаменателю:

Числитель: $u^2 - 4u + 3 = (u - 1)(u - 3)$, знаменатель: $u^2$

Итак, неравенство:

Рассмотрим знак дроби. Анализируем по промежуткам, учитывая, что $u^2 > 0$ при $u \ne 0$:

• $u < 0$: знаменатель $> 0$, числитель — знаки зависят:

  • если $u < 1$, $u - 1 < 0$

  • если $u < 3$, $u - 3 < 0$
    → оба отрицательные, произведение положительно: $(-) \cdot (-) = +$
    → числитель $> 0$, знаменатель $> 0$ ⇒ дробь $> 0$

• $u = 0$: знаменатель 0 ⇒ выражение не определено

• $0 < u < 1$: $u - 1 < 0$, $u - 3 < 0$ ⇒ числитель положительный, знаменатель положительный ⇒ дробь положительна

• $u = 1$: числитель 0 ⇒ дробь 0

• $1 < u < 3$: $u - 1 > 0$, $u - 3 < 0$ ⇒ числитель отрицательный ⇒ дробь отрицательна

• $u = 3$: числитель 0 ⇒ дробь 0

• $u > 3$: числитель положительный ⇒ дробь положительна

Итак, решение неравенства:

(ноль не включается — на нём выражение не определено)

Возвращаемся к замене: $u = t - 1 = 2^{2 - x^2} - 1$

Тогда условие:

Рассмотрим каждую часть:

1) $2^{2 - x^2} - 1 < 0 \Rightarrow 2^{2 - x^2} < 1$