Найдите корни уравнения: 10/|2x - 3| = x - 1

Для решения уравнения $\frac{10}{|2x - 3|} = x - 1$ рассмотрим два случая, в зависимости от того, что представляет собой выражение $|2x - 3|$.

Шаг 1: Рассмотрение двух случаев для модуля

1. Первый случай: $2x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq \frac{3}{2}$. В этом случае модуль можно убрать, и уравнение принимает вид:

   $$\frac{10}{2x - 3} = x - 1.$$

   Умножим обе части уравнения на $2x - 3$ (при условии, что $x \neq \frac{3}{2}$):

   $$10 = (x - 1)(2x - 3).$$

   Раскроем скобки:

   $$10 = 2x^2 - 3x - 2x + 3.$$

   Упростим:

   $$10 = 2x^2 - 5x + 3.$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$2x^2 - 5x - 7 = 0.$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81.$$

   Корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5, \quad x_2 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1.$$

   Поскольку в этом случае мы рассматривали $x \geq \frac{3}{2}$, то из двух корней подходит только $x_1 = 3.5$.

2. Второй случай: $2x - 3 < 0$, то есть $x < \frac{3}{2}$. В этом случае модуль выражается как $|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x$, и уравнение принимает вид:

   $$\frac{10}{3 - 2x} = x - 1.$$

   Умножим обе части на $3 - 2x$ (при условии, что $x \neq \frac{3}{2}$):

   $$10 = (x - 1)(3 - 2x).$$

   Раскроем скобки:

   $$10 = 3x - 2x^2 - 3 + 2x.$$

   Упростим:

   $$10 = -2x^2 + 5x - 3.$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$2x^2 - 5x + 13 = 0.$$

   Для этого уравнения вычислим дискриминант:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 = 25 - 104 = -79.$$

   Так как дискриминант отрицателен, корней в этом случае нет.

Шаг 2: Ответ

Единственный корень, удовлетворяющий исходному уравнению, это $x = 3.5$.