Решить уравнение: sinx + sin2x - sin3x = 0

Чтобы решить уравнение $\sin x + \sin 2x - \sin 3x = 0$, воспользуемся тригонометрическими тождествами и методами преобразования.

1. Используем формулу для синуса двойного угла:
   Напоминаем, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

   Таким образом, уравнение примет вид:

   $$\sin x + 2 \sin x \cos x - \sin 3x = 0$$

2. Используем формулу для синуса тройного угла:
   $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$. Подставляем это в уравнение:

   $$\sin x + 2 \sin x \cos x - (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = 0$$

3. Упростим уравнение:

   $$\sin x + 2 \sin x \cos x - 3 \sin x + 4 \sin^3 x = 0$$

   Приводим подобные члены:

   $$-2 \sin x + 2 \sin x \cos x + 4 \sin^3 x = 0$$

4. Вынесем $\sin x$ за скобки:

   $$\sin x (-2 + 2 \cos x + 4 \sin^2 x) = 0$$

5. Рассмотрим два случая.

   Первый случай: $\sin x = 0$.

   $$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Второй случай: $-2 + 2 \cos x + 4 \sin^2 x = 0$.
   Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:

   $$-2 + 2 \cos x + 4(1 - \cos^2 x) = 0$$

   Упростим:

   $$-2 + 2 \cos x + 4 - 4 \cos^2 x = 0$$ $$2 \cos x - 4 \cos^2 x + 2 = 0$$

   Разделим на 2:

   $$\cos x - 2 \cos^2 x + 1 = 0$$

   Перепишем уравнение как квадратное:

   $$-2 \cos^2 x + \cos x + 1 = 0$$

   Умножим на -1, чтобы упростить:

   $$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Решим его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$\cos x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$$ $$\cos x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$\cos x = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$

6. Решаем для каждого случая:

   • Если $\cos x = 1$, то $x = 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}$.

   • Если $\cos x = -\frac{1}{2}$, то $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}$