sin2x cosx = sinx cos2x

Для того чтобы решить уравнение $\sin(2x) \cos(x) = \sin(x) \cos(2x)$, начнем с использования тригонометрических формул.

1. Из формулы удвоенного угла знаем, что:

   $$\sin(2x) = 2\sin(x) \cos(x)$$

   Подставляем это в исходное уравнение:

   $$2\sin(x) \cos(x) \cos(x) = \sin(x) \cos(2x)$$

   Упростим:

   $$2\sin(x) \cos^2(x) = \sin(x) \cos(2x)$$

2. Если $\sin(x) \neq 0$, то можно разделить обе стороны на $\sin(x)$:

   $$2\cos^2(x) = \cos(2x)$$

3. Используем формулу для $\cos(2x)$:

   $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$$

   Подставляем это в уравнение:

   $$2\cos^2(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$$

   Преобразуем:

   $$2\cos^2(x) - \cos^2(x) = -\sin^2(x)$$ $$\cos^2(x) = -\sin^2(x)$$

4. Известно, что $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, следовательно, можем заменить $\sin^2(x)$ на $1 - \cos^2(x)$ в уравнении:

   $$\cos^2(x) = -(1 - \cos^2(x))$$ $$\cos^2(x) = -1 + \cos^2(x)$$

   Это уравнение приводит к противоречию, потому что на левой и правой сторонах одинаковые выражения, но справа находится отрицательное значение.

5. Следовательно, решение данного уравнения возможно, только если $\sin(x) = 0$.

6. $\sin(x) = 0$ при $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

Ответ: уравнение $\sin(2x) \cos(x) = \sin(x) \cos(2x)$ выполняется при $x = n\pi$, где $n$ — целое число.