Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Для того чтобы доказать, что из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, давайте рассмотрим две дроби, которые можно записать как $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$, где $a$ — числитель, а $b$ и $c$ — знаменатели, при этом $b > c$.

Наша цель — доказать, что $\frac{a}{b} < \frac{a}{c}$, если $b > c$.

1. Сравнение дробей через общие знаменатели:

Для того чтобы сравнить две дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$ будет равен произведению $b$ и $c$. Тогда можно переписать обе дроби следующим образом:

Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем $b \cdot c$:

2. Сравнение числителей:

Мы видим, что числители этих дробей — это $a \cdot c$ и $a \cdot b$, где $a$ — одно и то же, а $b > c$. Так как $a$ — одно и то же значение, то множители $c$ и $b$ оказывают решающее влияние на результат. Так как $b > c$, то (a \cdot b > a \cdot c. Это означает, что:

3. Заключение:

Так как дробь $\frac{a \cdot b}{b \cdot c}$ соответствует $\frac{a}{c}$, а дробь $\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ соответствует $\frac{a}{b}$, то $\frac{a}{b} < \frac{a}{c}$, если $b > c$.

Таким образом, мы доказали, что из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.