Найдите площадь криволинейной трапеции y=2x^2 y=0 x=-1 x=1

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми $y = 2x^2$, $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 1$, нужно выполнить интегрирование функции, которая описывает верхнюю границу трапеции, по соответствующему интервалу.

Шаги для решения:

1. Определяем функцию для интегрирования:
   В данном случае, область ограничена графиком функции $y = 2x^2$ сверху и осью $x$ (где $y = 0$) снизу. Поэтому площадь будет определяться интегралом от функции $2x^2$ от $x = -1$ до $x = 1$.

2. Записываем интеграл для площади:
   Площадь трапеции можно вычислить как определённый интеграл:

   $$S = \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx$$

3. Вычисляем интеграл:
   Интеграл от $2x^2$ по переменной $x$ равен:

   $$\int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3}$$

4. Подставляем пределы интегрирования:
   Теперь подставим пределы $x = -1$ и $x = 1$:

   $$S = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{2(1)^3}{3} - \frac{2(-1)^3}{3}$$ $$S = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

5. Ответ:
   Площадь криволинейной трапеции равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.