Логарифмическое уравнение. log₂ (x² - 3x - 10) = 3

Для решения логарифмического уравнения $\log_2 (x^2 - 3x - 10) = 3$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Перевести логарифм в экспоненциальную форму. Логарифм $\log_2 (A) = B$ можно записать как $A = 2^B$. В нашем случае это будет:

2. Вычислить $2^3$:

3. Перенести все в одну сторону уравнения:

Теперь у нас есть квадратное уравнение.

4. Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого находим дискриминант:

5. Вычислим корни уравнения по формуле:

Это даёт два корня:

6. Проверим корни на допустимость. Логарифм существует только для положительных значений аргумента, то есть $x^2 - 3x - 10 > 0$. Для каждого корня подставим значение $x$ в выражение $x^2 - 3x - 10$ и проверим, не получится ли отрицательное число.

• Для $x_1 = 6$:

Так как результат положительный, корень $x_1 = 6$ допустим.

• Для $x_2 = -3$:

Результат также положительный, так что и корень $x_2 = -3$ также допустим.

7. Ответ: Оба корня являются решениями уравнения, то есть $x = 6$ и $x = -3$.