F(x)=-x^3+3x, найти наименьшее значение f на отрезке [0;3]

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = -x^3 + 3x$ на отрезке $[0; 3]$ нужно пройти несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала находим производную функции $f(x)$, которая позволит нам найти критические точки:

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся из условия, что производная равна нулю:

Решаем это уравнение:

Поскольку нас интересует отрезок $[0; 3]$, то принимаем $x = 1$ как критическую точку.

Шаг 3: Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $f(0) = -(0)^3 + 3(0) = 0$,

• $f(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2$,

• $f(3) = -(3)^3 + 3(3) = -27 + 9 = -18$.

Шаг 4: Сравним значения функции

Теперь сравним значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• $f(0) = 0$,

• $f(1) = 2$,

• $f(3) = -18$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 3]$ достигается в точке $x = 3$, и оно равно $-18$.

Ответ: наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0; 3]$ равно $-18$.