Дан четырёхугольник ABCD. Сторона AB=CD, BC=AD. Доказать: угол А=углу С; угол В=углу D.

Сделал так.

1. Провёл диагональ $AC$.

2. Рассмотрел треугольники $ABC$ и $CDA$. Имеем

(последнее — общая сторона). Значит, треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по трём сторонам (SSS).

3. Из равенства треугольников сразу получаем равенство соответствующих углов:

а также

4. Теперь сложим попарно углы у вершины $A$ и у вершины $C$, разрезанные диагональю $AC$:

Из п.3 имеем $\angle DAC = \angle BCA$ и $\angle CAB = \angle ACD$. Следовательно,

Итак, доказано: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.