Решить уравнение 2/(x-5) + 14/x = 3

Чтобы решить уравнение $\frac{2}{x-5} + \frac{14}{x} = 3$, давайте пошагово преобразуем его.

1. Приведем к общему знаменателю. У нас два дробных выражения: $\frac{2}{x-5}$ и $\frac{14}{x}$. Общий знаменатель этих дробей будет $x(x - 5)$, так как это произведение их знаменателей.

2. Перепишем дроби с общим знаменателем.

   $$\frac{2}{x-5} = \frac{2x}{x(x-5)}$$ $$\frac{14}{x} = \frac{14(x-5)}{x(x-5)}$$

3. Подставим эти выражения в исходное уравнение.

   $$\frac{2x}{x(x-5)} + \frac{14(x-5)}{x(x-5)} = 3$$

4. Теперь можем сложить дроби.

   $$\frac{2x + 14(x - 5)}{x(x - 5)} = 3$$

5. Упростим числитель.

   $$2x + 14(x - 5) = 2x + 14x - 70 = 16x - 70$$

6. Подставим это в уравнение.

   $$\frac{16x - 70}{x(x - 5)} = 3$$

7. Умножим обе части уравнения на $x(x - 5)$, чтобы избавиться от знаменателя.

   $$16x - 70 = 3x(x - 5)$$

8. Раскроем скобки на правой стороне.

   $$16x - 70 = 3x^2 - 15x$$

9. Переносим все элементы на одну сторону.

   $$0 = 3x^2 - 15x - 16x + 70$$ $$0 = 3x^2 - 31x + 70$$

10. Решим квадратное уравнение $3x^2 - 31x + 70 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 3$, $b = -31$, $c = 70$.

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Подставляем значения:

Таким образом, два корня:

11. Проверим, какие из этих корней не приводят к делению на ноль в исходном уравнении.

У нас есть два выражения в знаменателях: $x - 5$ и $x$. Если $x = 5$ или $x = 0$, то знаменатели обращаются в ноль. Но $x = 7$ и $x = \frac{10}{3}$