Найдите производную функции. y=x^5/8-x^3/4+x^2-in(x/2) в точке x0=2

Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{x^5}{8} - \frac{x^3}{4} + x^2 - \ln\left(\frac{x}{2}\right)$ в точке $x_0 = 2$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

Производную можно найти, применяя стандартные правила дифференцирования:

• Производная $\frac{x^n}{n}$ — это $n \cdot x^{n-1}$

• Производная $\ln(x)$ — это $\frac{1}{x}$

• Производная $\ln\left(\frac{x}{2}\right)$ — это $\frac{1}{x}$, так как $\ln\left(\frac{x}{2}\right) = \ln(x) - \ln(2)$, а производная $\ln(x)$ даёт $\frac{1}{x}$, а производная от постоянной $\ln(2)$ равна 0.

Теперь находим производную каждой части функции:

1. Производная $\frac{x^5}{8}$ будет $\frac{5x^4}{8}$.

2. Производная $-\frac{x^3}{4}$ будет $-\frac{3x^2}{4}$.

3. Производная $x^2$ будет $2x$.

4. Производная $-\ln\left(\frac{x}{2}\right)$ будет $-\frac{1}{x}$.

Таким образом, производная функции $y$ по $x$ будет:

2. Подставим $x_0 = 2$ в полученную производную:

Вычислим это поэтапно:

• $2^4 = 16$, значит $\frac{5 \cdot 16}{8} = \frac{80}{8} = 10$

• $2^2 = 4$, значит $\frac{3 \cdot 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

• $2 \cdot 2 = 4$

• $\frac{1}{2} = 0.5$

Теперь подставляем все в формулу:

Таким образом, производная функции в точке $x_0 = 2$ равна $10.5$.