Решить систему: sinx = cosy; 2cos²y + sinx = 3

Решим систему уравнений:

1. $\sin x = \cos y$

2. $2 \cos^2 y + \sin x = 3$

Шаг 1: Подставим выражение для $\sin x$ из первого уравнения во второе

Из первого уравнения знаем, что $\sin x = \cos y$. Подставим это в второе уравнение:

Шаг 2: Преобразуем полученное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\cos y$:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Оно имеет вид $A \cos^2 y + B \cos y + C = 0$, где $A = 2$, $B = 1$, $C = -3$.

Шаг 3: Найдем дискриминант

Дискриминант для квадратного уравнения $A \cos^2 y + B \cos y + C = 0$ вычисляется по формуле:

Подставляем значения $A = 2$, $B = 1$, $C = -3$:

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни уравнения находим по формуле:

Подставляем значения:

Таким образом, получаем два возможных значения для $\cos y$:

или

Однако, значение $\cos y = -\frac{3}{2}$ невозможно, так как косинус угла лежит в пределах от -1 до 1. Следовательно, остаётся только $\cos y = 1$.

Шаг 5: Найдем значение $y$

Если $\cos y = 1$, то $y = 0$, так как $\cos 0 = 1$.

Шаг 6: Найдем значение $x$

Теперь, зная, что $y = 0$, подставим это в первое уравнение $\sin x = \cos y$:

Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Ответ:

Решение системы: $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0$.