Как найти наименьшее значение выражения: a² + 2ab + b² + 6a + 6b + 10

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения $a^2 + 2ab + b^2 + 6a + 6b + 10$, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата или дифференцированием. Рассмотрим первый способ.

1. Приводим выражение к более удобному виду. Обратите внимание на первые три слагаемых: $a^2 + 2ab + b^2$. Это можно представить как полный квадрат:

Таким образом, выражение примет вид:

2. Вводим новую переменную. Пусть $s = a + b$. Тогда наше выражение превращается в:

Поскольку $s = a + b$, можем переписать $6a + 6b$ как $6s$. Теперь выражение выглядит так:

3. Минимизируем выражение относительно $s$. Мы видим, что полученная функция $s^2 + 6s + 10$ — это квадратичная функция. Чтобы найти её минимальное значение, нужно найти вершину параболы. Формула для минимального значения квадратичной функции $As^2 + Bs + C$ выглядит так:

В нашем случае $A = 1$, $B = 6$, а $C = 10$. Подставляем эти значения:

4. Вычисляем минимальное значение функции. Подставляем $s = -3$ в исходное выражение $s^2 + 6s + 10$:

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1.