Реши неравенство x/(x−15) ≥ 4 методом интервалов. Сколько целых чисел содержится в получившемся промежутке?

Решим неравенство $\frac{x}{x-15} \geq 4$ методом интервалов.

1. Перепишем неравенство

Начнём с того, что приведём его к виду, удобному для анализа:

Переносим 4 в левую часть, приводя к общему знаменателю:

Теперь перепишем 4 в виде дроби с таким же знаменателем:

После упрощения дробей:

Распределим множитель:

Теперь можно вынести -3 из числителя:

Умножим обе части неравенства на -1 (не забываем, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется):

2. Определяем критические точки

Теперь найдём значения $x$, при которых числитель и знаменатель равны нулю:

• $x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20$

• $x - 15 = 0 \Rightarrow x = 15$

Таким образом, критические точки — это $x = 20$ и $x = 15$. Мы должны исследовать знаки выражения на интервалах, образованных этими точками.

3. Исследуем знаки на интервалах

Получаем следующие интервалы: $(-\infty, 15)$, $(15, 20)$, $(20, +\infty)$.

Теперь проверим знак выражения на каждом из этих интервалов:

• Для $x < 15$ (например, $x = 0$): $\frac{3(0 - 20)}{0 - 15} = \frac{3(-20)}{-15} = 4$, знак положительный.

• Для $15 < x < 20$ (например, $x = 18$): $\frac{3(18 - 20)}{18 - 15} = \frac{3(-2)}{3} = -2$, знак отрицательный.

• Для $x > 20$ (например, $x = 25$): $\frac{3(25 - 20)}{25 - 15} = \frac{3(5)}{10} = 1.5$, знак положительный.

4. Составляем ответ

Нам нужно, чтобы выражение было меньше либо равно нулю. Это происходит на интервале $(15, 20)$, включая точку $x = 20$, но исключая точку $x = 15$ (потому что в этой точке выражение не определено).

Таким образом, решение неравенства: $15 < x \leq 20$.

5. Считаем целые числа

Целые числа, которые лежат в интервале $(15, 20]$, это 16, 17, 18, 19 и 20.

Ответ: в промежутке содержится 5 целых чисел.