При каких значениях k квадратное уравнение \( x^{2} + 5x + 2k = 0 \) не имеет корней?

Рассматриваю действительные корни. Для квадратного уравнения $x^{2}+5x+2k=0$ корни существуют тогда и только тогда, когда дискриминант $D\ge 0$.

Считаю дискриминант:

Чтобы уравнение не имело действительных корней, нужно

Итого:

• при $k>\dfrac{25}{8}$ корней в $\mathbb{R}$ нет;

• при $k=\dfrac{25}{8}$ — один (двукратный) корень;

• при $k<\dfrac{25}{8}$ — два действительных корня.

Ответ: $k>\dfrac{25}{8}$.