Что такое парабола и гипербола?

Парабола и гипербола — это два разных типа кривых второго порядка (кривые, задаваемые квадратичными уравнениями). Они часто появляются в геометрии, физике и технике. Коротко:

Парабола

• Геометрическое определение: множество точек на плоскости, равноудалённых от одной фиксированной точки (фокуса) и одной фиксированной прямой (директрисы).

• Каноническое уравнение: $y^2 = 4px$ (если ось параболы — ось $x$), где $p>0$ — расстояние от вершины до фокуса. Часто встречается и вид $y=ax^2+bx+c$ (это парабола, «открытая» вверх/вниз).

• Ключевые элементы: вершина, ось симметрии, фокус, директриса. Эксцентриситет $e=1$.

• Свойства: одна ветвь; нет асимптот; симметрична относительно своей оси; отражающее свойство: лучи, идущие параллельно оси, после отражения от параболического зеркала проходят через фокус.

• Как выглядит: «чаша» или «дуга», открытая в сторону фокуса (вправо для $y^2=4px$, вверх для $x^2=4py$).

• Примеры/приложения: траектория идеального броска в однородном поле тяжести без сопротивления (в декартовой системе), параболические антенны и отражатели, форма подвесной цепи в координатах (после подходящей перенормировки) аппроксимируется параболой.

Гипербола

• Геометрическое определение: множество точек, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянен.

• Каноническое уравнение: $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (ветви вдоль оси $x$) или $\displaystyle \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ (ветви вдоль оси $y$). Здесь $c^2=a^2+b^2$, где $c$ — расстояние от центра до фокуса.

• Ключевые элементы: центр, две вершины, две ветви, две асимптоты $y=\pm \frac{b}{a}x$ (в сдвинутых координатах — через центр). Эксцентриситет $e>1$ и равен $e=\frac{c}{a}$.

• Свойства: состоит из двух раздельных ветвей, симметричных относительно обеих осей, имеет две прямые асимптоты; обладает отражающим свойством в терминах фокусов и касательных.

• Как выглядит: две «раскрытые» ветви, расходящиеся к асимптотам.

• Примеры/приложения: гиперболические траектории пролётных космических аппаратов (при избыточной скорости относительно планеты), уровни равной разности расстояний в радионавигации (разностно-дальномерные системы), графики обратной пропорциональности $xy=\text{const}$ (в повернутых и растянутых осях связаны с гиперболой).

Чем отличаются в одном взгляде:

• Парабола — одна ветвь, нет асимптот, фокус + директриса, эксцентриситет $e=1$.

• Гипербола — две ветви, есть две асимптоты, два фокуса, эксцентриситет $e>1$.

Быстрые примеры уравнений:

• Парабола: $y=2x^2-4x+1$ (ось вертикальна).

• Гипербола: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ (ветви по оси $x$; асимптоты $y=\pm \tfrac{4}{3}x$).

Если нужна интуиция: парабола возникает, когда один «источник» (фокус) конкурирует с «линией» (директрисой); гипербола — когда конкурируют два источника, и важна разность расстояний до них.