Как представить число в виде квадрата или куба, например, число -27 или 144?

Если речь про представление целого числа как квадрат или куб целого, то работает простой признак через разложение на простые множители.

Общий принцип

• Число — квадрат целого ⇔ в его разложении на простые все показатели чётные.

• Число — куб целого ⇔ в его разложении на простые все показатели кратны 3.

• Отрицательное число не может быть квадратом целого (квадрат всегда ≥ 0), но может быть кубом (куб отрицательного — отрицательный).

Примеры из вопроса

1. -27
   Разложение: $27=3^3$.
   Квадратом быть не может (отрицательное).
   Куб — да: $-27=(-3)^3$.

2. 144
   Разложение: $144=2^4\cdot 3^2$.
   Все показатели чётные ⇒ это квадрат.
   Выделяем корень: $144=(2^2\cdot 3)^2=12^2$.
   Кубом 144 не является, потому что 4 и 2 не делятся на 3.

Как действовать в общем случае

1. Разложите число $n$ на простые: $n=\pm p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots$.

2. Для квадрата: все $\alpha_i$ должны быть чётными и знак «плюс». Тогда
   $n=(p_1^{\alpha_1/2}p_2^{\alpha_2/2}\cdots)^2$.

3. Для куба: все $\alpha_i$ кратны 3; знак может быть любым (минус даст отрицательный куб). Тогда
   $n=(\operatorname{sgn}(n)\cdot p_1^{\alpha_1/3}p_2^{\alpha_2/3}\cdots)^3$, где $\operatorname{sgn}(n)=1$ или $-1$.

Замечание про нецелые корни
Если разрешать нецелые числа, то любое неотрицательное $a$ можно написать как квадрат: $a=(\sqrt a)^2$.
Любое число (включая отрицательные) можно написать как квадрат комплексного числа, например $-27=(3\sqrt3\,i)^2$.
Но в задачах по целым числам обычно имеется в виду представление именно в виде квадрата/куба целого числа — тут действуют признаки выше.