Диагональ B1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол 30 градусов, а с плоскостью грани DD1C1C — угол 45 градусов. Найди длину наибольшего измерения параллелепипеда, если длина диагонали равна 4/√6.

Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда равны $a=AB$, $b=AD$, $c=AA_1$. Тогда диагональ $DB_1$ имеет направляющий вектор $\vec v=(a,\,-b,\,c)$ и длину

Угол между прямой и плоскостью выражается через синус угла с нормалью плоскости:

• Плоскость грани $AA_1D_1D$ — это $x=0$, её нормаль $\vec n_1=(1,0,0)$. Дано $\theta_1=30^\circ$, значит

  $$\sin30^\circ=\frac{|a|}{d}\;\Rightarrow\; \frac12=\frac{a}{d}\;\Rightarrow\; a=\frac d2.$$

• Плоскость грани $DD_1C_1C$ — это $y=\text{const}$, нормаль $\vec n_2=(0,1,0)$. Дано $\theta_2=45^\circ$, значит

  $$\sin45^\circ=\frac{|b|}{d}\;\Rightarrow\; \frac{\sqrt2}{2}=\frac{b}{d}\;\Rightarrow\; b=\frac d{\sqrt2}.$$

Теперь

Подставляя $d=\frac{4}{\sqrt6}$, получаем