1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n². Применяя метод математической индукции, докажите, что для любого n ∈ N* истинно данное высказывание.

Докажу по индукции по $n$.

База. Для $n=1$:

т.е. равенство верно.

Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $k\in \mathbb N$ выполнено индукционное предположение:

Рассмотрим следующий член суммы — при $n=k+1$:

По индукционному предположению первые $k$ слагаемых дают $k^2$, а добавляемое слагаемое равно $2k+1$. Тогда

Именно это и является правой частью утверждения для $n=k+1$.

Мы показали: из истинности для $n=k$ следует истинность для $n=k+1$. Поскольку база $n=1$ верна, по принципу математической индукции равенство

выполнено для всех $n\in\mathbb N^*$.

Интуитивно: это сумма первых $n$ нечётных чисел, и она всегда «достраивает» квадрат — переход $k^2\to(k+1)^2$ происходит прибавлением ровно $2k+1$ единиц.