Найти стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см.

Для того чтобы найти стороны прямоугольника, воспользуемся теоремой Пифагора и уравнением разности сторон.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$, где $a > b$. Согласно условию задачи:

1. Разность сторон прямоугольника: $a - b = 31$.

2. Диагональ прямоугольника равна 41 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю, выполняется следующее равенство:

   $$a^2 + b^2 = 41^2.$$

   То есть:

   $$a^2 + b^2 = 1681.$$

Теперь решим систему из двух уравнений:

1. $a - b = 31$,

2. $a^2 + b^2 = 1681$.

Первое уравнение можно выразить как $a = b + 31$, подставим это в второе уравнение:

Раскроем скобки:

Вычтем 961 из обеих частей уравнения:

Теперь разделим обе части на 2:

Получаем квадратное уравнение:

Решим это уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

Посчитаем дискриминант:

Теперь находим корни:

Получаем два возможных значения для $b$:

Так как длина стороны не может быть отрицательной, оставляем $b = 9$.

Теперь, зная $b = 9$, подставим это значение в выражение для $a$:

Таким образом, стороны прямоугольника равны 40 см и 9 см.