Сколько различных касательных можно провести к окружности через данную точку, лежащую: 1) вне окружности, 2) на окружности, 3) внутри окружности?

Для ответа на этот вопрос, давайте рассмотрим три ситуации, когда данная точка может располагаться относительно окружности:

1. Точка вне окружности:
   Если точка находится вне окружности, то к этой точке можно провести две касательные. Каждая из них будет касаться окружности в одной точке, а сама касательная будет перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания.

2. Точка на окружности:
   Если точка лежит на самой окружности, то через эту точку можно провести одну касательную, которая будет касаться окружности именно в этой точке. В этом случае касательная будет перпендикулярна радиусу, проведенному в данную точку.

3. Точка внутри окружности:
   Если точка находится внутри окружности, то через нее провести касательную нельзя. То есть, в этом случае не существует касательных, которые можно было бы провести к окружности через эту точку.

Таким образом, количество касательных зависит от расположения точки относительно окружности: две касательные, если точка вне окружности; одна касательная, если точка на окружности; и ноль касательных, если точка внутри окружности.