Лежат ли точки А(2; 0; 3), В(4; -6; 6), С(3; 2; 7), D(3; -8; 2) в одной плоскости?

Чтобы ответить на вопрос, нужно проверить, лежат ли все четыре точки (А, В, С, D) в одной плоскости. Для этого можно использовать теорему о коллинеарности векторов.

1. Найдем два вектора, которые лежат в плоскости, проходящей через точки А, В, С и D. Для этого вычислим векторы:

   $\overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2, -6 - 0, 6 - 3) = (2, -6, 3)$

   $\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 2, 2 - 0, 7 - 3) = (1, 2, 4)$

2. Теперь нужно найти векторное произведение этих двух векторов, чтобы убедиться, что третий вектор (вектор, соединяющий точку A с точкой D) лежит в этой плоскости. Если векторное произведение этих векторов не равно нулю, то векторы не коллинеарны, и значит, точки не лежат в одной плоскости. Если оно равно нулю, то точки лежат в одной плоскости.

Векторное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ рассчитывается по формуле:

Вычислим детерминант:

3. Теперь вычислим скалярное произведение вектора $\overrightarrow{AD} = D - A = (3 - 2, -8 - 0, 2 - 3) = (1, -8, -1)$ и вектора $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-30, -5, 10)$: