Какую часть окружности занимает угол, образованный часовой и минутной стрелками?

Если говорить вообще, без привязки к какому-то конкретному времени, то угол между часовой и минутной стрелками может быть разным. Его удобно выразить как часть окружности (то есть какой долей круга он является).

Разберём по шагам.

1. Скорости стрелок

Возьмём обычные часы:

• Минутная стрелка за 1 час делает полный оборот, то есть
  $360^\circ$ за 60 минут → 6° в минуту.

• Часовая стрелка за 12 часов делает полный оборот, то есть
  $360^\circ$ за 12 часов = 30° в час → 0,5° в минуту.

Обозначим:

• $h$ — количество часов (0–11),

• $m$ — количество минут (0–59).

Тогда:

• Положение минутной стрелки (угол от «12 часов»):
  $\theta_m = 6m$ градусов.

• Положение часовой стрелки:
  $\theta_h = 30h + 0{,}5m$ градусов.

2. Угол между стрелками

Разность углов:

Это даёт некоторый угол в градусах, но он может быть больше 180°.
Обычно под «углом между стрелками» понимают меньший из двух углов, поэтому:

И вот этот $\alpha$ — искомый угол.

3. Какая это часть окружности

Окружность — это $360^\circ$.
Значит, доля окружности, которую составляет угол между стрелками:

Подставляем:

Это общий ответ для любого момента времени.

4. Часто имеющийся в виду простой случай

Во многих задачах спрашивают неявно про момент, когда минутная стрелка на «12», а часовая стоит ровно на каком-то числе (1 час, 2 часа и т.д.). Тогда:

• минутная стрелка у «12» → угол $0^\circ$,

• часовая стоит на делении часов → между соседними делениями 12 делений и полный круг 360°,
  значит угол между соседними делениями:

  $$\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ.$$

Тогда:

• Угол между стрелками, отличающимися на 1 деление, равен $30^\circ$.

• Это часть окружности:

  $$\frac{30^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{12}.$$

То есть, если имелся в виду такой стандартный случай (например, «в 1 час» или «в 2 часа» при минутной стрелке на 12), то угол между часовой и минутной стрелками занимает $\tfrac{1}{12}$ окружности.