Докажите, что выражение -а² + 4а - 9 может принимать лишь отрицательные значения.

Рассмотрим квадратичное выражение

Удобно «довести до квадрата»:

Квадрат $(a-2)^2$ неотрицателен для любого действительного $a$, то есть $(a-2)^2\ge 0$. Следовательно,

Значит, при любом $a\in\mathbb{R}$ значение выражения строго отрицательно.

(Эквивалентный взгляд: это парабола с ветвями вниз, вершина при $a=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=2$, а максимальное значение равно $-5$, значит все значения меньше нуля.)