Произведение двух множителей, и первый множитель оканчивается цифрой 7. Какой цифрой начинается второй множитель, если сумма его первой и последней цифр равна 9?

Если опираться только на то, что дано в условии, однозначного ответа здесь вообще нет.

Разберёмся по шагам.

1. Пусть второй множитель — это какое-то многозначное число. Обозначим:

   • его первая цифра — $a$,

   • его последняя цифра — $b$.

   По условию:

   $$a + b = 9$$

2. Какие значения может принимать $a$?

   Так как это первая цифра числа, она не может быть равна 0. Значит,

   $$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

   Тогда последняя цифра:

   $$b = 9 - a$$

   Проверим, чтобы $b$ тоже была цифрой (то есть от 0 до 9). Для всех перечисленных $a$ значения $b$ будут:

   • $a = 1 \Rightarrow b = 8$

   • $a = 2 \Rightarrow b = 7$

   • $a = 3 \Rightarrow b = 6$

   • $a = 4 \Rightarrow b = 5$

   • $a = 5 \Rightarrow b = 4$

   • $a = 6 \Rightarrow b = 3$

   • $a = 7 \Rightarrow b = 2$

   • $a = 8 \Rightarrow b = 1$

   • $a = 9 \Rightarrow b = 0$

   Все пары допустимы: и первая цифра не ноль, и последняя тоже цифра.

3. Что нам даёт информация про первый множитель?

   Сказано только, что первый множитель оканчивается цифрой 7. То есть он имеет вид:

   $$\dots 7$$

   Эта информация влияет только на последнюю цифру произведения (она будет равна $7 \cdot b \mod 10$), но в задаче ни одной информации о самом произведении нет: ни его последней цифры, ни первой, ни количества знаков, ничего.

   Поэтому связь между «оканчивается на 7» и «какая цифра стоит первой во втором множителе» нигде явно не используется и не может быть использована — данных просто не хватает.

4. Вывод

   При любых $a = 1,2,3,4,5,6,7,8,9$ можно подобрать последнюю цифру $b = 9 - a$, и условие «сумма первой и последней цифр второго множителя равна 9» будет выполняться. А то, что первый множитель оканчивается на 7, само по себе никак не ограничивает возможные значения $a$ без дополнительной информации о произведении.

   Поэтому:

По заданным условиям нельзя однозначно определить, какой цифрой начинается второй множитель. Подходят любые цифры от 1 до 9.