Три бегуна – Антон, Серёжа и Толя – участвуют в беге на 100 метров. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в 10 метрах позади от него, когда финишировал Серёжа, то Толя находился в 10 метрах позади от Серёжи. На каком расстоянии находились Антон и Серёжа, когда финишировал Антон? (Все мальчики бегут с постоянными, но не равными друг другу скоростями.)

Для решения задачи используем обозначения и будем анализировать скорость бегунов и их положения на разных этапах.

1. Обозначения:

   • Пусть $v_A$, $v_S$, и $v_T$ — скорости Антона, Серёжи и Толи соответственно.

   • Пусть время, которое потребовалось Антону для преодоления 100 метров, равно $t_A$. Тогда его скорость $v_A = \frac{100}{t_A}$.

   • Когда Антон финишировал, Серёжа был на 10 метров позади. То есть, Серёжа пробежал 90 метров за время $t_A$, и его скорость $v_S = \frac{90}{t_A}$.

2. Когда финишировал Серёжа:

   • Серёжа финиширует, когда прошёл 100 метров. В это время Толя был на 10 метров позади, то есть пробежал 90 метров. Так как время, которое потребовалось Серёже для пробежки 100 метров, равно $t_S$, то Толя пробежал свои 90 метров за $t_S$, и его скорость $v_T = \frac{90}{t_S}$.

   • Время, которое потребовалось Серёже для финиша, можно выразить через время Антона: $t_S = \frac{100}{v_S} = \frac{100}{\frac{90}{t_A}} = \frac{100 t_A}{90} = \frac{10 t_A}{9}$.

3. Найдем положение Антона на момент финиша Серёжи:

   • На момент финиша Серёжи прошло время $t_S = \frac{10 t_A}{9}$.

   • За это время Антон успел пробежать:

     $$\text{Пробежанное расстояние Антона} = v_A \cdot t_S = \frac{100}{t_A} \cdot \frac{10 t_A}{9} = \frac{1000}{9} \approx 111.11 \text{ метров}.$$

   Таким образом, на момент финиша Серёжи Антон прошёл 111.11 метров, что примерно на 11.11 метров дальше, чем когда он финишировал. Поскольку Антон финишировал на 100 метрах, его расстояние от Серёжи на момент финиша Серёжи составляет:

   $$111.11 - 100 = 11.11 \text{ метров}.$$

Ответ: Когда финишировал Антон, Серёжа находился на расстоянии 11.11 метров позади Антона.