Задуманы два натуральных числа. Второе число на 3 больше первого. Если первое число увеличить на 3, а второе уменьшить на 6, то разность произведений задуманных чисел и полученных чисел будет равна 24. Пусть первое задуманное число - x.

Пусть первое задуманное число $x$, а второе число, как указано в условии, на 3 больше первого, то оно будет равно $x + 3$.

Теперь, если первое число увеличить на 3, то получим $x + 3$, а если второе число уменьшить на 6, то получим $x + 3 - 6 = x - 3$.

Задача говорит, что разность произведений задуманных чисел и полученных чисел равна 24. Это можно записать следующим образом:

Решим это уравнение. Начнем с раскрытия скобок в каждом произведении.

1. Раскроем $x \cdot (x + 3)$:

2. Раскроем $(x + 3) \cdot (x - 3)$ по формуле разности квадратов:

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

Упростим это уравнение:

Сокращаем $x^2$:

Теперь решим это уравнение для $x$:

Таким образом, первое задуманное число равно 5.

Теперь можно проверить, что второе число действительно на 3 больше первого. Оно будет равно $5 + 3 = 8$.

Проверим выполнение условия задачи:

• Первое число: 5, второе число: 8.

• Увеличиваем первое число на 3: $5 + 3 = 8$.

• Уменьшаем второе число на 6: $8 - 6 = 2$.

Теперь проверим разность произведений:

Условие задачи выполнено, значит, первое задуманное число действительно равно 5.