В классе все дети изучают английский и французский языки. Из них 17 человек изучают английский, 15 человек – французский, а 8 человек изучают оба языка одновременно. Сколько учеников в классе?

Решим задачу по шагам.

Нам известно:

• Всего в классе все дети изучают хотя бы один из двух языков (английский или французский).

• Английский изучают – 17 человек.

• Французский изучают – 15 человек.

• Оба языка одновременно изучают – 8 человек.

Обозначим:

• $A$ – множество учеников, изучающих английский.

• $B$ – множество учеников, изучающих французский.

Тогда:

• $|A| = 17$

• $|B| = 15$

• $|A \cap B| = 8$ – это те, кто изучают оба языка.

Нас спрашивают: сколько учеников в классе всего?
То есть нужно найти $|A \cup B|$ – сколько учеников изучают хотя бы один из этих языков (а по условию – все дети в классе входят в это объединение).

Формула

Для двух пересекающихся множеств действует формула:

Почему так?
Если просто сложить 17 (английский) и 15 (французский), то ученики, которые изучают оба языка, будут посчитаны дважды – один раз в группе английского, второй раз в группе французского. Поэтому их количество нужно один раз вычесть.

Подставим числа

1. Сначала сложим изучающих каждый язык:

Считаем аккуратно:

• десятки: $10 + 10 = 20$

• единицы: $7 + 5 = 12$

• всего: $20 + 12 = 32$

Итого получаем 32.

2. Теперь вычитаем тех, кто изучает оба языка (их пересечение):

Считаем:

• $32 - 2 = 30$

• осталось вычесть ещё 6: $30 - 6 = 24$

Получаем:

Ответ

В классе 24 ученика.