Подножие горы и её вершину связывают три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?

Три тропы соединяют подножие с вершиной. Маршрут «туда-обратно» однозначно задаётся выбором тропы на подъём и (возможно другой) тропы на спуск. На подъём — 3 варианта, на спуск — тоже 3. По правилу умножения получаем $3 \times 3 = 9$ различных маршрутов (включая случаи, когда поднимаются и спускаются по одной и той же тропе). Ответ: 9.