Докажите неравенство a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

Неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$ можно доказать, преобразовав его в более удобную форму.

1. Начнем с того, что перепишем неравенство:

2. Переносим все члены на одну сторону:

3. Попробуем привести левую часть к более удобной для анализа форме. Для этого сгруппируем выражение следующим образом:

4. Теперь попробуем разложить это выражение через квадраты. Перепишем его, добавив и вычтя нужные члены:

5. Все три квадрата в скобках, такие как $(a - b)^2$, $(b - c)^2$ и $(c - a)^2$, всегда неотрицательны, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Это означает, что выражение в скобках также неотрицательно.

6. Следовательно, мы получаем неравенство:

Таким образом, мы доказали, что:

что и требовалось доказать.