Дифференциального уравнения y''+7y'-6y=0

Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

$y'' + 7y' - 6y = 0,$

следуем стандартному методу поиска общего решения для линейных однородных уравнений второго порядка.

Шаг 1: Составление характеристического уравнения

Для такого типа уравнений, где у нас есть производные $y''$ и $y'$, характеристическое уравнение составляется следующим образом:

1. Предположим, что общее решение имеет вид $y = e^{\lambda x}$, где $\lambda$ — константа, которая будет найдена в процессе решения.
2. Подставляем это выражение для $y$ в уравнение. Тогда его производные будут:
   • Первая производная $y' = \lambda e^{\lambda x}$.
   • Вторая производная $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$.
3. Подставляем $y$, $y'$ и $y''$ в дифференциальное уравнение: $$\lambda^2 e^{\lambda x} + 7\lambda e^{\lambda x} - 6 e^{\lambda x} = 0.$$
4. Поскольку $e^{\lambda x} \neq 0$, делим на $e^{\lambda x}$: $$\lambda^2 + 7\lambda - 6 = 0.$$

Таким образом, характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:

Шаг 2: Решение характеристического уравнения

Решаем квадратное уравнение:

Это уравнение можно решить, используя формулу квадратного корня:

Здесь $a = 1$, $b = 7$ и $c = -6$. Подставим значения:

Корни этого уравнения:

Шаг 3: Общее решение дифференциального уравнения

Так как корни характеристического уравнения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ вещественные и различны, то общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы, которые могут быть найдены при наличии начальных условий.

Подставим найденные значения корней: