Цена производителя на товар А составляет 20 рублей. Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или 3 раза и осуществляет услуги по транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку 20%, после чего покупатель приобрёл товар за 576 рублей. Сколько посредников было между магазином и производителем?

Давайте разберемся поэтапно.

1. Цена товара в магазине: Покупатель приобрёл товар за 576 рублей. Магазин делает наценку 20%, что означает, что цена товара в магазине составила 80% от конечной цены (включая наценку). То есть, если мы обозначим цену товара в магазине как $M$, то:

   $$M \times 1.2 = 576 \implies M = \frac{576}{1.2} = 480 \text{ рублей}$$

   Таким образом, цена товара до наценки магазина составила 480 рублей.

2. Цена до магазина: Магазин продает товар за 480 рублей, но это уже цена после всех посредников. Если магазин накладывает наценку на цену, то цена товара перед магазином — это 480 рублей, то есть цена после всех посредников.

3. Посредники: Каждая фирма-посредник увеличивает цену товара в 2 или 3 раза. Пусть количество посредников между производителем и магазином равно $n$. Таким образом, цена товара перед магазином будет равна цене товара у производителя, умноженной на коэффициенты увеличения для каждого посредника.

   Цена товара у производителя: 20 рублей. Пусть умножение цен на 2 и 3 происходит по очереди. Тогда цена товара после посредников будет:

   $$20 \times \text{коэффициенты посредников} = 480 \text{ рублей}$$

4. Решение уравнения: Теперь необходимо понять, сколько раз цена увеличивается в 2 или 3 раза, чтобы из 20 рублей получилось 480 рублей. Для этого попробуем различные комбинации умножения на 2 и 3.

   Начнем с того, что цена товара увеличивается несколько раз. Например, если цена увеличивается только на 2, то:

   $$20 \times 2^n = 480$$

   Разделим обе стороны на 20:

   $$2^n = 24$$

   Но 24 не является степенью 2, значит, мы должны использовать и коэффициенты 2, и 3. Попробуем другие комбинации умножений.

   После перебора вариантов можно получить, что для того, чтобы из 20 рублей получилось 480 рублей, потребуется 4 посредника, если использовать 2 посредника с коэффициентом 2 и 2 посредника с коэффициентом 3:

   $$20 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 480$$

   Таким образом, между магазином и производителем было 4 посредника.