Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной около треугольника окружности.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим:

• $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$;

• $h_a$ — высота, опущенная на сторону $a$;

• $R$ — радиус описанной окружности, $D=2R$ — её диаметр.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

Отсюда

По теореме синусов $\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R$, то есть $a=2R\sin A$. Подставляя это в предыдущую формулу, получаем:

Итак, произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности:

Аналогично, циклически заменяя буквы, верно и для любых двух сторон и соответствующей высоты.