верно ли, что если площади прямоугольников равны, то прямоугольники равны?

Нет, это неверно.

Равенство площадей прямоугольников означает только то, что произведения их сторон одинаковы, то есть если у одного прямоугольника стороны $a$ и $b$, а у другого $c$ и $d$, то выполняется

Но из равенства произведений вовсе не следует, что сами пары сторон совпадают (даже с точностью до перестановки), а именно это нужно для равенства прямоугольников.

Контрпример:

• Прямоугольник $2 \times 6$ имеет площадь $12$.

• Прямоугольник $3 \times 4$ тоже имеет площадь $12$.

При этом прямоугольники не равны, потому что наборы их сторон разные: у первого стороны 2 и 6, у второго — 3 и 4. Никаким поворотом один в другой не превратить так, чтобы совпали длины соответствующих сторон.

Вывод: равные площади прямоугольников не гарантируют равенство прямоугольников; одинаковая площадь допускает много разных сочетаний сторон.