В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, AH — высота, BH=5. Найдите косинус угла A.

Так как $AC=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Удобно ввести координаты.

1) Зададим координаты вершин

Положим:

• $B=(0,0)$,

• $A=(20,0)$ (потому что $AB=20$).

Так как $AC=BC$, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Середина $AB$ имеет абсциссу $10$, значит

2) Запишем условие про высоту $AH$

$AH$ — высота из $A$ на сторону $BC$, значит $H$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $BC$, и $H$ лежит на $BC$.

Вектор $\overrightarrow{BC}=(10,\,y)$, значит любая точка на отрезке $BC$ имеет вид

Перпендикулярность $AH \perp BC$ означает:

Тогда

3) Используем условие $BH=5$

Длина $BC$:

Длина $BH$ равна доле $t$ от $BC$, потому что $H$ делит отрезок $BC$ в отношении $t$:

По условию $BH=5$, значит

Отсюда

4) Найдём $\cos \angle A$