Парабола проходит через точки K(0;2), L(-5;-3), M(1;9). Найдите координаты ее вершины.

Для нахождения координат вершины параболы, проходящей через три точки, воспользуемся уравнением параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — неизвестные коэффициенты. Из условий задачи нам известны три точки, через которые проходит парабола: K(0;2), L(-5;-3) и M(1;9).

1. Подставим координаты точки K(0;2) в уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$:

   $$2 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 2.$$

   Таким образом, у нас уже есть значение $c = 2$, и уравнение параболы становится:

   $$y = ax^2 + bx + 2.$$

2. Подставим координаты точки L(-5;-3) в это уравнение:

   $$-3 = a(-5)^2 + b(-5) + 2 \Rightarrow -3 = 25a - 5b + 2.$$

   Упростим это уравнение:

   $$25a - 5b = -5 \Rightarrow 5a - b = -1 \quad \text{(Уравнение 1)}.$$

3. Подставим координаты точки M(1;9) в уравнение параболы:

   $$9 = a(1)^2 + b(1) + 2 \Rightarrow 9 = a + b + 2.$$

   Упростим это уравнение:

   $$a + b = 7 \quad \text{(Уравнение 2)}.$$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

Решим эту систему. Из уравнения 2 выразим $b$:

Подставим это в уравнение 1:

Теперь, подставив значение $a = 1$ в уравнение $b = 7 - a$, получаем:

Таким образом, уравнение параболы имеет вид:

Для нахождения вершины параболы используем формулу для координаты $x$ вершины параболы:

Подставим значения $a = 1$ и $b = 6$:

Теперь найдём $y_{\text{в}}$, подставив $x = -3$ в уравнение параболы:

Таким образом, координаты вершины параболы: $(-3; -7)$.