Отрезок BK соединяет вершину B треугольника ABC с точкой K противоположной стороны. Углы A и B этого треугольника соответственно равны 65 градусов и 92 градуса. Найдите углы треугольника ABK и CBK, учитывая, что угол CKB в два раза больше угла BAC.

Дано: в треугольнике $ABC$ углы

Тогда третий угол

Точка $K$ лежит на стороне $AC$, а отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ с точкой противоположной стороны.

По условию:

1) Треугольник $ABK$

Так как точки $A, K, C$ лежат на одной прямой, лучи $KA$ и $KC$ — противоположные. Значит углы $\angle AKB$ и $\angle CKB$ смежные:

Угол при $A$ в треугольнике $ABK$ — это $\angle BAK$. Но $K$ лежит на $AC$, поэтому

Тогда третий угол треугольника $ABK$ при вершине $B$:

Итак, углы треугольника $ABK$:

2) Треугольник $CBK$

Угол при $C$ в треугольнике $CBK$ — это $\angle BCK$. Так как $K$ на $AC$, то луч $CK$ совпадает с лучом $CA$, значит

Угол при $K$ дан:

Тогда угол при $B$ в треугольнике $CBK$:

Итак, углы треугольника $CBK$:

(Проверка: $\angle ABK + \angle KBC = 65^\circ + 27^\circ = 92^\circ$, что совпадает с $\angle ABC$.)