Положительные дроби.

Положительные дроби — это дроби, значение которых больше нуля. Проще всего думать так: если дробь можно поставить на числовой прямой правее 0, то она положительная.

Что считается дробью

Обычно под дробью понимают число вида

где $a$ — числитель, $b$ — знаменатель, и $b \ne 0$.

Дроби бывают:

• обыкновенные: $\frac{3}{5}$, $\frac{-7}{4}$

• десятичные: $0{,}2$, $-3{,}75$

• смешанные: $2 \frac{1}{3}$ (это тоже дробное число)

Определение положительной дроби

Дробь $\frac{a}{b}$ положительная, если

Это происходит, когда числитель и знаменатель одного знака:

• $a > 0$ и $b > 0$ → дробь положительная

• $a < 0$ и $b < 0$ → дробь тоже положительная (минус на минус даёт плюс)

Примеры положительных дробей

• $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{15}{3}$ (это вообще 5, но по виду дробь)

• $\frac{-4}{-11}$ (положительная, потому что оба отрицательные)

• $0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (положительная десятичная дробь)

• $2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}$ (положительное смешанное число)

Что не является положительной дробью

• Ноль не положительный: $\frac{0}{5} = 0$ (это не > 0)

• Любая дробь со знаком «минус» только в одном месте — отрицательная:

  • $\frac{-3}{7} < 0$

  • $\frac{3}{-7} < 0$

Как быстро определить знак дроби

Удобное правило:

• плюс / плюс = плюс

• минус / минус = плюс

• плюс / минус = минус

• минус / плюс = минус

То есть дробь положительная тогда, когда количество минусов чётное (0 или 2).

Свойства положительных дробей (самое полезное)

1. Сумма положительных дробей положительна:
   $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} > 0$

2. Произведение положительных дробей положительно:
   $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7} > 0$

3. Если числитель меньше знаменателя при $a,b>0$, то дробь меньше 1:
   $\frac{3}{8} < 1$

4. Если числитель больше знаменателя при $a,b>0$, то дробь больше 1:
   $\frac{9}{4} > 1$

5. Сравнение двух положительных дробей удобно делать крест-накрест:
   $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ (при $b>0, d>0$), если $ad > bc$.