Есть 19 гирек массами 1 г, 2 г, ..., 19 г, из которых 9 железных, 9 бронзовых и одна золотая. Известно, что масса всех бронзовых гирек на 90 г меньше, чем масса всех железных. Найдите массу золотой гирьки.

Сумма масс всех 19 гирек равна

Пусть суммы масс железных, бронзовых и золотой гирек равны соответственно $I$, $B$, $G$. Тогда:

• железных 9 штук, бронзовых 9 штук, золотая 1 штука;

• по условию бронзовые в сумме на 90 г легче железных:

  $$B=I-90;$$

• вместе они дают 190 г:

  $$I+B+G=190.$$

Из первых двух равенств:

Но напрямую $I$ мы не знаем — зато мы знаем важное: разность сумм 9 железных и 9 бронзовых гирек равна 90 г.

Теперь ключевой шаг — оценка возможной разности.

Чтобы разность сумм двух наборов по 9 гирек была как можно больше, один набор должен быть из самых тяжелых гирек, а другой — из самых легких.

Посмотрим, какая вообще может быть максимальная разность между суммой 9 самых тяжелых и суммой 9 самых легких гирек среди чисел от 1 до 19.

Если взять 9 самых легких: $1,2,\dots,9$, их сумма:

Если взять 9 самых тяжелых: $11,12,\dots,19$, их сумма:

Разность:

То есть 90 г — это максимально возможная разность между суммами двух наборов по 9 гирек, если один набор — самые тяжелые, а другой — самые легкие.

А у нас по условию разность ровно 90 г. Значит, других вариантов нет: железные гири должны быть именно $11,12,\dots,19$, а бронзовые — $1,2,\dots,9$.

Тогда золотой остается единственная неиспользованная гирька — масса $10$ г.

Ответ: масса золотой гирьки равна $10$ г.