Экскурсантов можно посадить в лодки по 8 или по 12 в каждую. В том и другом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их было больше 80, но меньше 100?

Если экскурсантов можно рассадить по 8 в лодку так, что свободных мест не останется, значит общее число экскурсантов делится на 8.

Если их можно рассадить по 12 в лодку и тоже без свободных мест, значит это же число делится на 12.

То есть количество экскурсантов должно делиться и на 8, и на 12 одновременно. Такие числа — это кратные наименьшему общему кратному (НОК) чисел 8 и 12.

Разложим:

• $8 = 2^3$

• $12 = 2^2 \cdot 3$

НОК берём по максимальным степеням простых:

• $\text{НОК}(8,12) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Значит число экскурсантов равно $24 \cdot k$.

Теперь смотрим, какие кратные 24 лежат строго между 80 и 100:

• $24 \cdot 3 = 72$ (меньше 80, не подходит)

• $24 \cdot 4 = 96$ (подходит)

• $24 \cdot 5 = 120$ (больше 100, не подходит)

Подходит только 96.

Ответ: 96 экскурсантов.