Найдите наибольшее значение функции y(x) = 2x⁴ - 4x² на отрезке [-1; 1].

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $y(x) = 2x^4 - 4x^2$ на отрезке $[-1; 1]$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции:

   Функция имеет вид:

   $$y(x) = 2x^4 - 4x^2$$

   Чтобы найти точки экстремума, необходимо вычислить первую производную:

   $$y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 4x^2) = 8x^3 - 8x$$

   Упростим выражение:

   $$y'(x) = 8x(x^2 - 1)$$

2. Найдем критические точки:

   Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

   $$8x(x^2 - 1) = 0$$

   Это уравнение равняется нулю, когда:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

   Таким образом, критические точки — это $x = 0$, $x = -1$ и $x = 1$.

3. Проверим значение функции в критических точках и на концах отрезка:

   Теперь нужно найти значение функции $y(x)$ в точках $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$, а также на концах отрезка, где функция может достигать наибольшего значения.

   • В точке $x = -1$:

   $$y(-1) = 2(-1)^4 - 4(-1)^2 = 2(1) - 4(1) = 2 - 4 = -2$$

   • В точке $x = 0$:

   $$y(0) = 2(0)^4 - 4(0)^2 = 0$$

   • В точке $x = 1$:

   $$y(1) = 2(1)^4 - 4(1)^2 = 2(1) - 4(1) = 2 - 4 = -2$$

4. Определим наибольшее значение:

   Мы вычислили значения функции в критических точках и концах отрезка:

   $$y(-1) = -2, \quad y(0) = 0, \quad y(1) = -2$$

   Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно $0$, которое достигается в точке $x = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции $y(x) = 2x^4 - 4x^2$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $0$.