Сколько всего существует трёхзначных чисел, сумма цифр в записи которых равна 2, 3, 4?

Рассмотрим трёхзначное число с цифрами $a,b,c$, где

• $a$ — сотни, $a \in \{1,2,\dots,9\}$ (нельзя 0, иначе число не трёхзначное),

• $b,c \in \{0,1,\dots,9\}$.

Нужно посчитать, сколько решений имеет уравнение

для $s=2,3,4$.

Так как суммы маленькие ($\le 4$), ограничения $b\le 9$, $c\le 9$, $a\le 9$ автоматически выполняются, а важно только $a\ge 1$, $b\ge 0$, $c\ge 0$.

Сделаем замену $a'=a-1$. Тогда $a'\ge 0$, и уравнение станет:

где все три переменные неотрицательные целые.

Число неотрицательных решений уравнения $x+y+z=n$ равно

Здесь $n=s-1$, значит количество равно

Теперь подставим значения $s$:

1) Сумма цифр равна $2$

2) Сумма цифр равна $3$

3) Сумма цифр равна $4$

Всего для сумм $2$, $3$, $4$

Ответ: при сумме $2$ — 3 числа, при сумме $3$ — 6 чисел, при сумме $4$ — 10 чисел; всего 19.