Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр равна 4?

Обозначим трёхзначное число как $abc$, где $a$ — сотни, $b$ — десятки, $c$ — единицы. Требуется $a+b+c=4$ при условиях $1\le a\le 9$, $0\le b,c\le 9$.

Сдвинем сотни: положим $a'=a-1\ge 0$. Тогда

где все три переменные — неотрицательные целые. Число решений уравнения $x+y+z=3$ в неотрицательных целых равно числу сочетаний с повторениями:

Ограничения сверху не мешают (сумма мала: $a\le 4$, $b,c\le 3$).

Для наглядности можно перечислить по значению $a$:

• $a=1$: $b+c=3$ → 103, 112, 121, 130 (4 шт.)

• $a=2$: $b+c=2$ → 202, 211, 220 (3 шт.)

• $a=3$: $b+c=1$ → 301, 310 (2 шт.)

• $a=4$: $b+c=0$ → 400 (1 шт.)

Итого $4+3+2+1=10$.

Ответ: 10.