1/2 lg(x² - 4x - 1) = lg(8x) - lg(4x)

Ответы на вопрос

Отвечает Шалдина Ирина.

Чтобы решить уравнение $\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$ , начнем с упрощения и применения свойств логарифмов.

Шаг 1: Использование свойства логарифмов

На правой стороне у нас разность логарифмов: $\lg(8x) - \lg(4x)$ . Это можно упростить с помощью свойства логарифмов:

\lg a - \lg b = \lg \left( \frac{a}{b} \right)

Тогда:

\lg(8x) - \lg(4x) = \lg \left( \frac{8x}{4x} \right) = \lg(2)

Теперь уравнение выглядит так:

\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2)

Шаг 2: Избавление от коэффициента $\frac{1}{2}$

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя $\frac{1}{2}$ :

\lg(x^2 - 4x - 1) = 2 \lg(2)

Используем свойство логарифмов $\lg(a^b) = b \lg(a)$ для правой части уравнения:

\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2^2) = \lg(4)

Теперь у нас есть уравнение:

\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(4)

Шаг 3: Удаление логарифмов

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если их аргументы равны, получаем:

x^2 - 4x - 1 = 4

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 4x - 1 - 4 = 0

Упростим:

x^2 - 4x - 5 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Для уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ коэффициенты $a = 1$ , $b = -4$ , $c = -5$ . Подставляем в формулу:

x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}

x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}

x = \frac{4 \pm 6}{2}

Получаем два корня:

x = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{4 - 6}{2} = -1

Шаг 5: Проверка на допустимость

Необходимо проверить, какие из найденных значений удовлетворяют исходному уравнению. Логарифм не определен для отрицательных чисел и нуля, поэтому нужно убедиться, что аргументы логарифмов положительные.

Для $x = 5$ :
- $x^2 - 4x - 1 = 25 - 20 - 1 = 4$ , что положительно.
- $8x = 8 \times 5 = 40$ , что положительно.
- $4x = 4 \times 5 = 20$

Отвечает Коварж Таня.

Последние заданные вопросы в категории Математика